【中学数学】一瞬で答えを導き出せる!?高校受験でも使えるテクニック。~平面図形編~裏ワザ公式10選

勉強法

裏ワザ公式~平面図形編~

空間図形の裏ワザ公式も紹介しています。下記リンクからご覧ください。

等積変形の応用①

〈問題〉
座標A(1,2)、B(4,1)、C(7,4)、D(4,6)の4点をむすんだときにできる四角形ABCDの面積を求めなさい。ただし、1メモリ1cmとする。

この問題は学校では次のように教わったのではないでしょうか。
1:△ABDと△CBDの2つの三角形に分けてそれぞれの面積を求める
2:1で求めた面積の和を求める

この問題は等積変形を応用すると次のように考えることができる。
ABCD4点の左端と右端の点の距離を横幅、上端と下端の距離を縦幅とすると、
この図形は横が横幅、縦が縦幅の長方形の半分の面積と等しくなる
ただし、縦幅とy軸が平行のときに限る。


四角形ABCD=\(\displaystyle 横幅×縦幅×\frac{1}{2}\)
=\(\displaystyle 6×4×\frac{1}{2}\)
=\(\displaystyle 12\)
\(\displaystyle \unicode{x2234} 12cm^2\)

等積変形の応用②

〈問題〉
座標A(1,6)、B(3,1)、C(8,7)、D(3,4)の4点をむすんだときにできる四角形ABCDの面積を求めなさい。ただし、1メモリ1cmとする。

この問題は学校では次のように教わったのではないでしょうか。
1:△ABDと△CBDの2つの三角形に分けてそれぞれの面積を求める
2:1で求めた面積の和を求める

このような形をした問題も等積変形を応用すると、先ほどと同じように考えることができる。
ABCD4点の左端と右端の点の距離を横幅、上端と下端の距離を縦幅とすると、
この図形は横が横幅、縦が縦幅の長方形の半分の面積と等しくなる
ただし、縦幅とy軸が平行のときに限る。


四角形ABCD=\(\displaystyle 横幅×縦幅×\frac{1}{2}\)
=\(\displaystyle 7×3×\frac{1}{2}\)
=\(\displaystyle \frac{21}{2}\)
\(\displaystyle \unicode{x2234}  \frac{21}{2}cm^2\)

おうぎ形

〈問題〉
半径6cm、弧4πcmのおうぎ形の面積を求めなさい。

この問題は学校では次のように教わったのではないでしょうか。
1:おうぎ形の弧の公式から中心角を求める
2:おうぎ形の面積の公式に1で求めた中心角を代入し面積を求める

おうぎ形の面積や弧を求めるときに、分数の計算も入り複雑になるため、時間もかかり計算ミスが増えてしまいますね。

おうぎ形の面積をより楽に求める方法は、半径と弧をかけて半分にするだけです。


おうぎ形の面積=\(\displaystyle 半径×弧×\frac{1}{2}\)
=\(\displaystyle 6×4π×\frac{1}{2}\)
=\(\displaystyle 12π\)
\(\displaystyle \unicode{x2234} 12πcm^2\)

角の二等分線問題①

〈問題〉
下図のときのxの値を求めなさい。

この問題は学校では次のように教わったのではないでしょうか。
1:〇と▲をaとb(文字)とおく
2:△ABCと△OBCの内角の和をaとbを用いて表す
3:2つの式から連立方程式を立ててa+bの値を求める
4:△OBCの内角の和の式に代入しxの値を求める

いくつか工程を踏むので少々面倒な問題です。
これをスパッと10倍の速さで正しい答えを出す方法があります。
それは、頂角を半分にして90°を足すだけです。


\(\displaystyle x\)=\(\displaystyle \frac{頂角}{2}+90°\)
=\(\displaystyle \frac{60°}{2}+90°\)
=\(\displaystyle 30°+90°\)
=\(\displaystyle 120°\)
\(\displaystyle \unicode{x2234} 120°\)

角の二等分線問題②

〈問題〉
△ABCの線分BCの延長線上の点をEとする。∠ABCと∠ACEの二等分線の交点をDとする。
∠Aが80°のとき∠BDCの角度を求めなさい。

この問題は学校では次のように教わったのではないでしょうか。
1:〇と▲をaとb(文字)とおく
2:△ABCと△DBCに外角定理をaとbを用いて表す
3:2つの式から連立方程式を立ててxの値を求める

こちらの問題もいくつか工程を踏むので少々面倒な問題です。外角定理を利用しますしどの視点から見ればよいのか難しい問題です。
こちらもスパッと10倍の速さで正しい答えを出す方法があります。
それは、半分にするだけです。たったこれだけです(笑)


\(\displaystyle x\)=\(\displaystyle 80°×\frac{1}{2}\)
=\(\displaystyle 40°\)
\(\displaystyle \unicode{x2234} 40°\)

角の二等分線問題③

〈問題〉
下図のときのxの値を求めなさい。

この問題は学校では次のように教わったのではないでしょうか。
1:〇と▲をaとb(文字)とおく
2:∠ADEとAEDをcとd(文字)とおく
3:△ADEに外角定理をaとbとcとdを用いて表す
4:2つの式から連立方程式を立ててa+bの値を求める
5:△DEFの内角の和の式に代入しxの値を求める

こちらの問題もかなり工程を踏みますし計算量が多いので厄介な問題です。こちらも2ヶ所で外角定理を利用しますしどの視点から見ればよいのか難しい問題です。
こちらもスパッと10倍の速さで正しい答えを出す方法があります。
それは、90°から∠Aの角度の半分を引くだけです。一気に楽になりましたね(笑)


\(\displaystyle x\)=\(\displaystyle 90°-72°×\frac{1}{2}°\)
=\(\displaystyle 90°-36°\)
=\(\displaystyle 54°\)
\(\displaystyle \unicode{x2234} 54°\)

対頂角、同位角、錯角

〈問題〉
下図のときのxの値を求めなさい。

この問題は学校では次のように教わったのではないでしょうか。
1:頂点を通り2つの平行線に平行な補助線を引く
2:対頂角や同位角、錯角を利用しxの値を求める

この問題はそこまで難しい問題ではないですが、平行線の本数が増えたり角度が90°以上になるとイメージがしにくくなります。
定期試験でも頻出問題ですので、ささっと解ける方法を紹介します。
その方法は、下図のように見たとき左側の和と右側の和は等しい。という関係から求めることができます。


\(\displaystyle 25°+x\)=\(\displaystyle 40°+55°\)
\(\displaystyle 25°+x\)=\(\displaystyle 95°\)
\(\displaystyle x\)=\(\displaystyle 70°\)
\(\displaystyle \unicode{x2234} 70°\)

相似な三角形の利用

〈問題〉
下図のときのxの値を求めなさい。

この問題は学校では次のように教わったのではないでしょうか。
1:△ABFと△CDFの相似比を出す
2:△CABと△CFEが相似なことからAB:FEでFE(=x)の値を求める

(2:△BDCと△BFEが相似なことからDC:FEでFE(=x)の値を求める)
相似な図形を見つけ相似比を2回利用するため厄介な問題ですね。
こちらの問題も速攻で答えを出してしまいましょう。

それは、両端の辺の和分の積です。足し算掛け算割り算ができればできます。超簡単ですね(笑)


\(\displaystyle x\)=\(\displaystyle \frac{積}{和}\)
=\(\displaystyle \frac{6×10}{6+10}\)
=\(\displaystyle \frac{60}{16}\)
=\(\displaystyle \frac{15}{4}\)
\(\displaystyle \unicode{x2234} \frac{15}{4}(=3.75)cm\)

三平方の定理(斜辺以外を求める)

〈問題〉
直角三角形ABCの斜辺AB=27cm、底辺=22cmのときの高さを求めなさい。

この問題は学校では次のように教わったのではないでしょうか。
1:三平方の定理に当てはめて2乗の計算をする
2:√ の中を素因数分解する
3:√ の外に出せるものは出す

三平方の定理はその名の通り2乗の計算を3回行い、素因数分解をし√ の計算をする必要があるため、長さを求めるときに便利な公式ではありますが、数が大きくなると一気に面倒くさくなりますね。
大きな数でも簡単に求める方法があります。
その方法は、斜辺と他の一辺の和と差の積を√ の中に入れるだけです。
(コツ)√ の中で掛け算を行わないと、より簡単に求めることができます。


\(\displaystyle x\)=\(\displaystyle \sqrt{和×差}\)
=\(\displaystyle \sqrt{(27+22)×(27-22)}\)
=\(\displaystyle \sqrt{49×5}\)
=\(\displaystyle 7\sqrt{5}\)
\(\displaystyle \unicode{x2234} 7\sqrt{5}cm\)

正三角形の面積

〈問題〉
一辺10cmの正三角形の面積を求めなさい。

この問題は学校では次のように教わったのではないでしょうか。
1:頂点Aから線分BCに垂線をおろす(交点をDとする)
2:△ABDで三平方の定理を利用して高さ(線分AD)を求める
3:三角形の面積の公式に当てはめて面積を求める

正三角形を求める場面はよくありますので簡単に求められる方法を知っておきましょう。
その方法は、一辺の2乗と4分の√3を掛けるだけで求めることができます。


正三角形の面積=\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}×(一辺)^2\)
=\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}×10^2\)
=\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}×100\)
=\(\displaystyle 25\sqrt{3}\)
\(\displaystyle \unicode{x2234} 25\sqrt{3}cm^2\)

さいごに

今回は平面図形の問題に使える裏ワザ公式を10個紹介してきました。

定期試験や入試などの制限時間があるときは、どれだけ時間短縮して正確に答えが出せるのかも点数アップや合格に向けての大切なことの一つです。

時間短縮のためにも、ぜひ今回紹介した裏ワザ公式を活用してみてください!

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