【二次関数】二次関数(y=ax2)変化の割合裏ワザ公式。

勉強法

はじめに

中学3年生の数学の単元である二次関数。苦戦している中学3年生はいるのではないでしょうか。「易しめの問題なら解けるが応用問題になると歯が立たない・・・」ことありますよね。

今回は二次関数の中でも変化の割合を求める時短テクニック。裏ワザ公式をご紹介していきます!

二次関数変化の割合(学校で習う解き方)

確認も兼ねて、まずは学校で習う解き方で問題を解いてみましょう。
学校で習う変化の割合を求める方法はこれ。

【変化の割合基本公式】


・変化の割合=\(\displaystyle\frac{yの増加量}{xの増加量}\)
・ 増加量 =変化後-変化前

これをもとに変化の割合を出していきましょう。

【問題】


\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2\)について。\(\displaystyle x\)が次のように変化したときの変化の割合をそれぞれ求めよ。
(1)\(\displaystyle x\):\(\displaystyle 2\)から\(\displaystyle 4\)
(2)\(\displaystyle x\):\(\displaystyle 8\)から\(\displaystyle -4\)
(3)\(\displaystyle x\):\(\displaystyle -\frac{4}{3}\)から\(\displaystyle \frac{1}{3}\)

(1)x:2から4


Step1:以下のような表を作る
\(\displaystyle x=2\)のとき\(\displaystyle y=2\)
\(\displaystyle x=4\)のとき\(\displaystyle y=8\)
なので、

y28
x24


Step2:変化の割合を求める基本公式に当てはめる
変化の割合=\(\displaystyle\frac{8-2}{4-2}\)=\(\displaystyle\frac{6}{2}\)=\(\displaystyle 3\)


(2)x:8から-4


Step1:以下のような表を作る
\(\displaystyle x=8\)のとき\(\displaystyle y=32\)
\(\displaystyle x=-4\)のとき\(\displaystyle y=8\)
なので、

y328
x8-4


Step2:変化の割合を求める基本公式に当てはめる
変化の割合=\(\displaystyle\frac{8-32}{-4-8}\)=\(\displaystyle\frac{-24}{-12}\)=\(\displaystyle 2\)


(3)x:-4/3から1/3
分数が出てきて計算が一気に面倒くさくなったぞ。
ただ、やることは同じなので計算ミスをしないようにやっていこう。


Step1:以下のような表を作る
\(\displaystyle x=-\frac{4}{3}\)のとき\(\displaystyle y=\frac{16}{18}\)
\(\displaystyle x=\frac{1}{3}\)のとき\(\displaystyle y=\frac{1}{18}\)
なので、

y16/181/18
x-4/31/3


Step2:変化の割合を求める基本公式に当てはめる
変化の割合=\(\displaystyle\frac{\frac{1}{18}-\frac{16}{18}}{\frac{1}{3}-(-\frac{4}{3})}\)
     =\(\displaystyle\frac{-\frac{15}{18}}{\frac{5}{3}}\)
     =\(\displaystyle-\frac{15}{18}\)×\(\displaystyle\frac{3}{5}\)
     =\(\displaystyle-\frac{1}{2}\)


(1)(2)のようにxの変化が整数の場合はできるが、(3)のように分数が出てくると途端に解けなくなってしまう人は多いと思います。

分数の中にさらに分数が出てきて・・・
何がなんやら・・・

答えを出すまでに時間はかかるし、計算ミスは起きやすいしで、踏んだり蹴ったりですね。

裏ワザ公式を使えばこれらが解決します。

では、裏ワザ公式を見ていきましょう!

二次関数変化の割合(裏ワザ公式)

さっそくですが、裏ワザ公式はこちらです。
    ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

二次関数変化の割合裏ワザ公式


\(y=ax^2\)について\(x\)が\(p\)から\(q\)に変化したとき
変化の割合=\(\color{blue}{\displaystyle a(p+q)}\)

こちらが二次関数変化の割合を求める裏ワザ公式です。

この公式に当てはめるだけで一瞬で答えが出せます。

さあ、次は裏ワザ公式を使って問題を解いていきましょう。
問題は先ほどの問題と同じものを解いていくので答えが一致するのも確認してみて下さいね!

【問題】


\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2\)について。\(\displaystyle x\)が次のように変化したときの変化の割合をそれぞれ求めよ。
(1)\(\displaystyle x\):\(\displaystyle 2\)から\(\displaystyle 4\)
(2)\(\displaystyle x\):\(\displaystyle 8\)から\(\displaystyle -4\)
(3)\(\displaystyle x\):\(\displaystyle -\frac{4}{3}\)から\(\displaystyle \frac{1}{3}\)

(1)x:2から4


\(\displaystyle a=\frac{1}{2}\)、\(\displaystyle p=2\)、\(\displaystyle q=4\)を先ほどの裏ワザ公式に当てはめましょう。
変化の割合=\(\displaystyle a(p+q)\)
     =\(\displaystyle\frac{1}{2}(2+4)\)
     =\(\displaystyle 3\)


(2)x:8から-4


\(\displaystyle a=\frac{1}{2}\)、\(\displaystyle p=8\)、\(\displaystyle q=-4\)を先ほどの裏ワザ公式に当てはめましょう。
変化の割合=\(\displaystyle a(p+q)\)
     =\(\displaystyle\frac{1}{2}\{8+(-4)\}\)
     =\(\displaystyle 2\)


(3)x:-4/3から1/3


\(\displaystyle a=\frac{1}{2}\)、\(\displaystyle p=-\frac{4}{3}\)、\(\displaystyle q=\frac{1}{3}\)を先ほどの裏ワザ公式に当てはめましょう。
変化の割合=\(\displaystyle a(p+q)\)
     =\(\displaystyle\frac{1}{2}(-\frac{4}{3}+\frac{1}{3})\)
     =\(\displaystyle-\frac{1}{2}\)


どうですか??

めちゃくちゃ早く簡単にかつ正しく答えが出せたでしょ?


ただ中には、
なんでこの公式が成り立つの!?
成り立つ理由がわからないままだと使っててもモヤモヤする!!

と、思ってる人がいるかと思いますので。
裏ワザ公式の証明を載せておきます。
気になる人は見ていただき、納得したうえで使ってみてください。

裏ワザ公式の証明


\(\displaystyle y=ax^2\)について\(\displaystyle x\)が\(\displaystyle p\)から\(\displaystyle q\)に変化したときを考えてみましょう。
変化の割合を基本公式に当てはめて求めていきましょう。

Step1:以下のような表を作る
\(\displaystyle x=p\)のとき\(\displaystyle y=ap^2\)
\(\displaystyle x=q\)のとき\(\displaystyle y=aq^2\)
なので、


Step2:変化の割合を求める式に当てはめる
変化の割合=\(\displaystyle\frac{aq^2-ap^2}{q-p}\)
     =\(\displaystyle\frac{a(q^2-p^2)}{q-p}\)  分子を因数分解する
     =\(\displaystyle\frac{a(q+p)(q-p)}{q-p}\)  分母分子を\(\displaystyle (q-p)\)で割る
     =\(\color{blue}{\displaystyle a(p+q)}\)

さいごに

二次関数変化の割合裏ワザ公式を今回紹介してきました。

周りの人が驚くようなスピードで答えを出せるようになると、少し優越感に浸れますね笑
友達にも教えてあげてね!

答えを出すまでの時間が短いほど、制限時間のある入試や定期試験では見直しする時間やほかの問題にかける時間が増えるので点数も上がっていくことでしょう。

ぜひ、入試や定期試験で活用していってください!!

今後もほかの時短テクニックを紹介していくので、ぜひ見て活用してくださいね!


二次関数2点問題の裏ワザ公式はこちら
    ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

この記事を書いた人
理系・特色検査担当
牧 麟太郎

 こんにちは。ホタル塾理系特色担当の牧です。受験指導は今年で8年目になります。私は「一期一会」という四字熟語が好きです。一つ一つの出会いを大切にし、出会えた生徒さん・保護者様を笑顔にできるよう、学習面で全力でサポート・応援をしたいです。

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