中3数学【因数分解】定期試験で活躍する。因数分解の公式の使い分けとは。

勉強法

因数分解とは

因数分解とは中学3年生で習う数学の単元です。
非常に重要な単元でもあり、高校でも改めて学習する単元にもなります。そのため、中学3年生で習う因数分解をしっかりと理解しておくことで高校でスムーズに進めることができます。

その中でも、今回は因数分解の公式の使い分けの方法をお話ししていきたいと思います。


因数分解の基礎となる、共通因数でくくる方法がわからない人は、まずはこっちを確認しましょう!

因数分解の公式

因数分解の公式は4つありますが、ここでは大きく分けて3つとします。
(※あとで話す、使い分けを3パターンに分けて考えていくため。)

公式①


\(\displaystyle x^2+6x+8\)を因数分解してみましょう。

〈考え方〉

①掛けて(×)+8になる2数の組み合わせを思い浮かべる。
➁①で思い浮かべた2数の組み合わせの中から、足して(+)+6になる2数を求める

※掛け算の組みを先に考える!!


①掛けて+8になる2数は、(+1,+8)、(+2,+4)、(-1,-8)、(-2,-4)の4組み。
➁①で思い浮かべた2数の組み合わせの中で、足して+6になる2数の組みは(+2,+4)になる。
つまり…
\(\displaystyle x^2+6x+8\)
=\(\displaystyle (x+2)(x+4)\)

に因数分解ができます。

公式➁


(1)\(\displaystyle x^2+8x+16\)
(2)\(\displaystyle 4x^2-12x+9\)を因数分解してみましょう。

〈考え方〉

①前の項と後ろの項が2乗の形(平方数)かどうかみる。
➁①がOKであれば、2乗の元の積を2倍したものが真ん中の項になるか確かめる。

 ※符号は無視
➂➁がOKであれば、2乗の元をそのまま( )の中に入れ、( )の外に2乗をつける。
➂真ん中の項の符号を間につける。


(1)\(\displaystyle x^2+8x+16\)
①\(\displaystyle x^2はxの2乗、16は4の2乗\)なのでOK
➁\(\displaystyle (x×4)×2=8x\)真ん中の項と一致したのでOK
➂2乗の元をそのまま( )の中に入れ、( )の外に2乗をつける\(\displaystyle (x 4)^2\)
➃\(\displaystyle 間に、真ん中の項(+8x)の符号(+)をつける。\)
つまり…
\(\displaystyle x^2+8x+16\)
=\(\displaystyle (x+4)^2\)

(2)\(\displaystyle 4x^2-12x+9\)
①\(\displaystyle 4x^2は2xの2乗、9は3の2乗\)なのでOK
➁\(\displaystyle (2x×3)×2=12x\)真ん中の項と一致したのでOK ※符号は無視
➂2乗の元をそのまま( )の中に入れ、( )の外に2乗をつける\(\displaystyle (2x 3)^2\)
➃\(\displaystyle 間に、真ん中の項(-12x)の符号(-)をつける。\)
つまり…
\(\displaystyle 4x^2-12x+9\)
=\(\displaystyle (2x-3)^2\)

公式➂


(1)\(\displaystyle x^2-49\)
(2)\(\displaystyle 9x^2-25y^2\)
※難(3)\(\displaystyle (a+2)^2-(b-5)^2\)を因数分解してみましょう。

〈考え方〉

①項の数が2つなのかチェック。
➁①がOKであれば、(2乗)ー(2乗)の形になっているかチェック。
➂2乗の元をそのまま( )( )の中に入れ、間に+とーを入れる。


(1)\(\displaystyle x^2-49\)
①OK
➁\(\displaystyle x^2はxの2乗、49は7の2乗\)なのでOK
➂\(\displaystyle (x+7)(x-7)\)

(2)\(\displaystyle 9x^2-25y^2\)
①OK
➁\(\displaystyle 9x^2は3xの2乗、25y^2は5yの2乗\)なのでOK
➂\(\displaystyle (9x+5y)(9x-5y)\)

※難(3)\(\displaystyle (a+2)^2-(b-5)^2\)
①OK
➁\(\displaystyle (a+2)^2は(a+2)の2乗、(b-5)^2は(b-5)の2乗\)なのでOK
➂\(\displaystyle {(a+2)+(b-5)}{(a+2)-(b-5)}\)
=\(\displaystyle (a+b-3)(a-b+7)\) ※マイナスとマイナスで符号が変わることに注意しよう。

公式の使い分け

さて、ここまではそれぞれの公式の使い方について考えていきました。
ここからは、公式の使い分けについて説明していきます。

STEP1.項の数に着目

公式の使い分け
第一ステップは項の数に着目することです。

ここまで、3つの公式を習ってきて気が付いた人もいるかもしれません。

それは…



公式➂のみ項の数が2個ということです。

つまり、
項の数が2個であれば公式➂を使う。
項の数が3個であれば公式①②を使う。

STEP2.平方数かチェック

公式の使い分け
第二ステップは平方数かチェックすることです。

第一ステップで項の数が3個だった場合、次に見るべきポイントは
前の項と後ろの項が2乗の形(平方数)かどうかチェックしましょう。

OKであれば、公式➁を使う。
NGであれば、公式①を使う。

※例外もあるので注意・確認作業が必要。

練習


(1)\(\displaystyle 4x^2-81y^2\)
(2)\(\displaystyle x^2+3xy-28y^2\)
(3)\(\displaystyle 49a^2-42xy+9b^2\)を因数分解してみましょう。

先ほどのSTEPを見ながらでもよいので、使い分けを練習していきましょう。

↓ ↓ ↓ 解   説 ↓ ↓ ↓


(1)\(\displaystyle 4x^2-81y^2\)
・STEP1.項の数に着目
項が2つ→公式➂を使う。
\(\displaystyle 4x^2-81y^2\)
=\(\displaystyle (2x+9y)(2x-9y)\)

(2)\(\displaystyle x^2+3xy-28y^2\)
・STEP1.項の数に着目
項が3つ→公式①➁を使う。
・STEP2.平方数かチェック
平方数でない→公式①を使う。
\(\displaystyle x^2+3xy-28y^2\)
=\(\displaystyle (x+7y)(x-4y)\)

(3)\(\displaystyle 49a^2-42xy+9b^2\)を因数分解してみましょう。
・STEP1.項の数に着目
項が3つ→公式①➁を使う。
・STEP2.平方数かチェック
\(\displaystyle 49a^2は7aの2乗、9b^2は3bの2乗\)なのでOK
平方数である→公式➁を使う。
\(\displaystyle 49a^2-42xy+9b^2\)
=\(\displaystyle (7a-3b)^2\)

どの公式を使うかまでは分かったけど、考え方がわからない人は各公式の考え方に戻って確認しましょう!

お疲れ様でした!!

この記事を書いた人
理系・特色検査担当
牧 麟太郎

 こんにちは。ホタル塾理系特色担当の牧です。受験指導は今年で8年目になります。私は「一期一会」という四字熟語が好きです。一つ一つの出会いを大切にし、出会えた生徒さん・保護者様を笑顔にできるよう、学習面で全力でサポート・応援をしたいです。

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