【二次関数】二次関数(y=ax2)2点問題の裏ワザ公式。

勉強法

はじめに

中学3年生の数学の単元である二次関数。

そんな中でも今回お話しする二次関数の2点問題は、入試や定期試験で頻出問題です。
二次関数の単元の中では易しめの分類には入りますが、よく理解できずに進んでしまった人や、理解できた人はさらに計算スピードを上げるために、基本的な解き方と裏ワザ公式を使った解き方をお話していきます。

入試や定期試験で数学の点数を上げるためにも最後まで読んでいただけると幸いです。

二次関数2点問題(学校で習う解き方)

まずは学校で習った解き方で二次関数2点問題を解いていきましょう。

【問題】


\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2\)のグラフ上に2点A,Bがある。
A,Bの\(\displaystyle x\)座標がそれぞれ\(\displaystyle -2\),\(\displaystyle 4\)であるとき、次の問いに答えなさい。
(1)2点A,Bの座標をそれぞれ求めよ。
(2)2点A,Bを通る直線の式を求めよ。

(1)2点A,Bの座標をそれぞれ求めよ。


点Aの座標を求める
\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2\)に\(\displaystyle x=-2\)を代入すると、
\(\displaystyle y=\frac{1}{2}(-2)^2=2\)となるから
点Aの座標は\(\displaystyle (-2,2)\)

点Bの座標を求める
\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2\)に\(\displaystyle x=4\)を代入すると、
\(\displaystyle y=\frac{1}{2}4^2=8\)となるから
点Bの座標は\(\displaystyle (4,8)\)


(2)2点A,Bを通る直線の方程式を求めよ。


点A\(\displaystyle (-2,2)\)と点B\(\displaystyle (4,8)\)の2点を通る直線の式\(\displaystyle (y=ax+b)\)を求めていく。
点Aから点Bに変化したと考えると傾き\(\displaystyle a\)は
\(\displaystyle a=\frac{yの増加量}{xの増加量}\) で出せる
\(\displaystyle a=\frac{8-2}{4-(-2)}\)
 \(\displaystyle=\frac{6}{6}\)
 \(\displaystyle=1\)
\(\displaystyle y=x+b\)に点A\(\displaystyle (x=-2,y=2)\)を代入して
\(\displaystyle 2=-2+b\)
\(\displaystyle b=4\)
\(\displaystyle \unicode{x2234} y=x+4\)


考え方や計算はそこまで難しくないですが、比例定数や座標が分数になったりすると一気に面倒くさくなり、計算に時間がかかったり計算ミスが増えてしまったりしてしまいます。

裏ワザ公式を使うと計算も楽になり計算ミスが減る時短テクニックになるのでぜひ活用してくださいね。

では、裏ワザ公式を見ていきましょう!

二次関数2点問題(裏ワザ公式)

さっそくですが、裏ワザ公式はこちらです。
    ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

二次関数2点問題裏ワザ公式


\(\displaystyle y=ax^2\)のグラフ上に2点A,Bがある。
A,Bの\(\displaystyle x\)座標がそれぞれ\(\displaystyle p\),\(\displaystyle q\)であるとき
2点A,Bを通る直線の式\(\displaystyle (y=mx+n)\)は
\(m=\color{blue}{\displaystyle a(p+q)}\)
\(n=\color{blue}{\displaystyle -apq}\)

先ほどと同じ問題と類題を裏ワザ公式を使って解いていきましょう。

【問題】


(1)
\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2\)のグラフ上に2点A,Bがある。
A,Bの\(\displaystyle x\)座標がそれぞれ\(\displaystyle -2\),\(\displaystyle 4\)であるとき、2点A,Bを通る直線の式を求めよ。

(2)
\(\displaystyle y=2x^2\)のグラフ上に2点A,Bがある。
C,Dの\(\displaystyle x\)座標がそれぞれ\(\displaystyle -5\),\(\displaystyle 7\)であるとき、2点C,Dを通る直線の式を求めよ。

(1)2点A,Bを通る直線の式を求めよ。


\(\displaystyle a=\frac{1}{2}\)、\(\displaystyle p=-2\)、\(\displaystyle q=4\)
直線の式を\(\displaystyle y=mx+n\)とすると
\(m={\displaystyle a(p+q)}\)
\(m={\displaystyle \frac{1}{2}(-2+4)=1}\)
\(n={\displaystyle -apq}\)
\(n={\displaystyle – \frac{1}{2}×(-2)×4}=4\)
\(\displaystyle \unicode{x2234} y=x+4\)

(2)2点C,Dを通る直線の式を求めよ。


\(\displaystyle a=2\)、\(\displaystyle p=-5\)、\(\displaystyle q=7\)
直線の式を\(\displaystyle y=mx+n\)とすると
\(m={\displaystyle a(p+q)}\)
\(m={\displaystyle 2(-5+7)=4}\)
\(n={\displaystyle -apq}\)
\(n={\displaystyle -2×(-5)×7}=70\)
\(\displaystyle \unicode{x2234} y=4x+70\)


どうですか??

めちゃくちゃ早く簡単にかつ正しく答えが出せたでしょ?

ただ中には、
なんでこの公式が成り立つの!?
成り立つ理由がわからないままだと使っててもモヤモヤする!!

と、思ってる人がいるかと思いますので。
裏ワザ公式の証明を載せておきます。
気になる人は見ていただき、納得したうえで使ってみてください。

裏ワザ公式の証明


\(\displaystyle y=ax^2\)のグラフ上に2点A,Bがある。
A,Bの\(\displaystyle x\)座標がそれぞれ\(\displaystyle p\),\(\displaystyle q\)であるとき
2点A,Bを通る直線の式\(\displaystyle (y=mx+n)\)を学校で習った解き方で解いていきましょう。

点Aの座標を求める
\(\displaystyle y=ax^2\)に\(\displaystyle x=p\)を代入すると、
\(\displaystyle y=ap^2\)となるから
点Aの座標は\(\displaystyle (p,ap^2)\)

点Bの座標を求める
\(\displaystyle y=ax^2\)に\(\displaystyle x=q\)を代入すると、
\(\displaystyle y=aq^2\)となるから
点Bの座標は\(\displaystyle (q,aq^2)\)

点A\(\displaystyle (p,ap^2)\)と点B\(\displaystyle (q,aq^2)\)の2点を通る直線の式\(\displaystyle (y=mx+n)\)を求めていく。
点Aから点Bに変化したと考えると傾き\(\displaystyle m\)は
\(\displaystyle m=\frac{aq^2-ap^2}{q-p}\)
 \(\displaystyle =\frac{a(q^2-p^2)}{q-p}\) 分子を因数分解する
 \(\displaystyle =\frac{a(q+p)(q-p)}{q-p}\) 分母分子を\(\displaystyle (q-p)\)で割る
\(\displaystyle \unicode{x2234} m=\color{blue}{\displaystyle a(p+q)}\)

\(\displaystyle y=a(p+q)x+n\)に点A\(\displaystyle (x=p,y=ap^2)\)を代入して
\(\displaystyle ap^2=ap(p+q)+n\)
\(\displaystyle ap^2=ap^2+apq+n\)
\(\displaystyle \unicode{x2234} n=\color{blue}{\displaystyle -apq}\)

さいごに

二次関数2点問題裏ワザ公式を今回紹介してきました。

周りの人が驚くようなスピードで答えを出せるようになると、少し優越感に浸れますね笑
友達にも教えてあげてね!

答えを出すまでの時間が短いほど、制限時間のある入試や定期試験では見直しする時間やほかの問題にかける時間が増えるので点数も上がっていくことでしょう。

ぜひ、入試や定期試験で活用していってください!!

今後もほかの時短テクニックを紹介していくので、ぜひ見て活用してくださいね!


二次関数変化の割合を求めるの裏ワザ公式はこちら
       ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

この記事を書いた人
理系・特色検査担当
牧 麟太郎

 こんにちは。ホタル塾理系特色担当の牧です。受験指導は今年で8年目になります。私は「一期一会」という四字熟語が好きです。一つ一つの出会いを大切にし、出会えた生徒さん・保護者様を笑顔にできるよう、学習面で全力でサポート・応援をしたいです。

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